\section{基本锁相环结构}
锁相环的基本结构如图 \ref{fig:基本锁相环结构} 所示\\
鉴相器将 $\Delta \phi = \phi_{\rm out} - \phi_{\rm in}$ 转化为电压，滤波后驱动振荡器，最终达到稳态，称相位锁定\\
相位锁定条件：$\Delta \phi = \phi_{\rm out} - \phi_{\rm in}$ 恒定且越小越好，则：
$$
\frac{\d \phi_{\rm out}}{\d t} - \frac{\d\phi_{\rm in}}{\d t} = 0
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\omega_{\rm out} = \omega_{\rm in}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{figures/基本锁相环结构.pdf}
    \caption{基本锁相环结构}
    \label{fig:基本锁相环结构}
\end{figure}


\subsection{鉴相器}

鉴相器：输出电压的平均值 $\bar{V}_{\rm out}$ 与两输入之间的相位差 $\Delta \phi$ 线性相关\\
理想鉴相器：$\bar V_{\rm out} = K_{\rm PD}\cdot \Delta\phi$，其中 $K_{\rm PD}$ 为鉴相器的增益

异或门可做方波信号的鉴相器，其输出 $V_{\rm out}$ 与输入相位差之间的关系如图 \ref{fig:异或鉴相器的响应} 所示\\
可见其输入-输出特性是周期性的，其增益 $K_{\rm PD}$ 可正可负

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{figures/异或鉴相器的响应.pdf}
    \caption{异或鉴相器的响应}
    \label{fig:异或鉴相器的响应}
\end{figure}

\subsection{振荡器}

\subsubsection{压控振荡器的数学模型}
理想压控振荡器的输出频率是输入电压的线性函数
\begin{align*}
    \omega_{\rm out} = \omega_0 + K_{\rm VCO} V_{\rm cont}, \qquad
    \omega_1 \le \omega_{\rm out} \le \omega_2
\end{align*}

\begin{enum}
    \item $\omega_0$ 为零输入时的输出频率
    \item $K_{\rm VCO}$ 为灵敏度，或称增益，单位 $\rm rad/(s\cdot V)$
    \item $\omega_2-\omega_1$ 为输出频率的调节范围
\end{enum}

如图 \ref{fig:VCO相位累积图示} 所示，VCO实质上是在不断对相位做累积
\begin{align*}
    \phi = \int \omega\d t + \phi_0 
    \qquad\Longrightarrow\qquad 
    V_{\rm out} = V_{\rm m} \cos\phi = V_{\rm m} \cos\left(\omega_0t + K_{\rm VCO}\int V_{\rm cont}\d t+\phi_0\right)
\end{align*}
在锁相环中通常只关心因$V_{\rm cont}$ 而增加的相位$\phi_{\rm ex}$，成为剩余相位
$$
\phi_{\rm ex} = K_{\rm VCO} \int V_{\rm cont} \d t 
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\frac{\varPhi_{\rm ex}}{V_{\rm cont}} (s) = \frac{K_{\rm VCO}}{s}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.85\textwidth]{figures/VCO相位累积图示.pdf}
    \caption{VCO相位累积图示}
    \label{fig:VCO相位累积图示}
\end{figure}

VCO的输出不必是正弦信号，也可是方波等其它波形\\
一般地，可用傅立叶级数来表示VCO的输出：
\begin{align*}
    V_{\rm out}(t) &= V_1 \cos(\omega t+\phi_1) + V_2 \cos(2\omega t+\phi_2) + \cdots \\
    \omega t &= \omega_0 t + K_{\rm VCO} \int V_{\rm cont} \d t 
\end{align*}

\begin{quote}
VCO的重要性能参数：\\
频率调节范围
、中心频率
、调节线性度
、输出振幅
、功耗
、输出信号纯度
、电源与共模抑制（振荡器抵抗噪声的能力）
\end{quote}

\subsection{锁相环定性分析}

\subsubsection{锁相环的相位锁定状态}
锁相环的相位锁定状态如图 \ref{fig:锁相环工作状态} 所示，其中鉴相器只对上升沿相位差产生脉冲\\
若输入输出信号的频率均为 $\omega_1$ ，则：
\begin{align*}
    V_1 &= \frac{\omega_1 - \omega_0}{K_{\rm VCO}} &
    \phi_0 &= \frac{V_1}{K_{\rm PD}} = \frac{\omega_1 - \omega_0}{K_{\rm VCO}K_{\rm PD}}
\end{align*}
由此可见：
\begin{enum}
    \item 锁定的相位误差 $\Delta\phi = \phi_0$ 由输入信号频率 $\omega_1$ 决定
    \item 为尽量减小相位误差，$K_{\rm PD} K_{\rm VCO}$ 应当尽量大
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{figures/锁相环工作状态图示.pdf}
    \caption{锁相环工作状态}
    \label{fig:锁相环工作状态}
\end{figure}

\subsubsection{锁定状态后的相位阶跃响应}
假定开始时锁相环相位锁定，频率 $\omega_1$，稳定相位差 $\phi_0$\\
在 $t=t_1$ 时刻输入信号有一相位阶跃 $\phi_1$，则锁相环对相位阶跃响应如图 \ref{fig:锁相环的相位阶跃响应} 所示\\
最终 $\phi_{\rm in} - \phi_{\rm out}, V_{\rm LPF}, \omega_{\rm out}$ 均回归原始值
\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{figures/锁相环的相位阶跃响应.pdf}
    \caption{锁相环的相位阶跃响应}
    \label{fig:锁相环的相位阶跃响应}
\end{figure}

\subsubsection{锁定状态后的频率阶跃响应}
假定开始时锁相环相位锁定，频率 $\omega_1$，稳定相位差 $\phi_0$\\
在 $t=t_1$ 时刻输入信号有一频率阶跃 $\Delta\omega$，则锁相环对频率阶跃响应如图 \ref{fig:锁相环的频率阶跃响应} 所示\\
$\phi_{\rm in} - \phi_{\rm out}$、$V_{\rm LPF}$、$\omega_{\rm out}$ 均先增大后减小，最终达到稳定值
\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{figures/锁相环的频率阶跃响应.pdf}
    \caption{锁相环的频率阶跃响应}
    \label{fig:锁相环的频率阶跃响应}
\end{figure}

\begin{quote}
    若输入频率在不断变化，则 $\omega_{\rm out}$ 仅能跟踪 $\omega_{\rm in}$
    
\end{quote}

